Iterative Lösung linearer Ungleichungssysteme

Eckhardt, U.

Book/Report

FZJ-2017-06208

Iterative Lösung linearer Ungleichungssysteme

Eckhardt, U. (Corresponding author)FZJ*

1972
Kernforschungsanlage Jülich, Verlag Jülich

Jülich : Kernforschungsanlage Jülich, Verlag, Berichte der Kernforschungsanlage Jülich 880, 85 p. (1972)

Please use a persistent id in citations: http://hdl.handle.net/2128/15205

Report No.: Juel-0880-MA

Abstract: Viele Probleme der numerischen Mathematik lassen sich zurückführen auf die Aufgabe, eine Lösung $x_{1}$,..., $x_{d}$ eines linearen Ungleichungssystems (U) $\sum^{d}_{j=1} a_{ij} x_{j} \geqslant b_{i}$ // i=1, ..., n zu finden. Insbesondere läßt sich eine lineare Optimierungsaufgabe (LO) mit Hilfe des Dualitätssatzes der linearen Optimierung (vgl. Collatz und Wetterling (1966), § 5.1 oder Vogel (1967), Kap. 11.3) auf eine Aufgabe der Form (U) zurückführen. Umgekehrt kann man ein lineares Ungleichungssystem auch als lineare Optimierungsaufgabe betrachten (vgl. etwa Collatz und Wetterling (1966), § 3.4). Ein Zweipersonen-Nullsummenspiel (Sp) läßt sich als lineare Optimierungsaufgabe - und damit als lineares Ungleichungssystem - formulieren. Im wesentlichen gilt auch die Umkehrung (zur Definition des Zweipersonen-Nullswmnenspiels und wegen einer präzisen Formulierung der Äquivalenz zu einem linearen Optimierungsproblem vgl. Vogel (1967), Kap. IV.2). Ein lineares Gleichungssystem (LG) kann als lineares Ungleichungssystem geschrieben werden, wenn man von der Tatsache Gebrauch macht, daß eine Gleichung x = y äquivalent ist zu den beiden Ungleichungen x $\geqslant$ y und y $\geqslant$ x. Ein besonders interessantes Problem ist das lineare Komplementäproblem(LC) (vgl. Lemke (1968) oder Eaves (1971)). Es läßt sich zeigen, daß man ein lineares Optimierungsproblem als ein spezielles lineares Komplementärproblem auffassen kann (Lemke, 1968). Drücken wir die Aussage "Die Aufgabe (A) ist auf die Aufgabe (B) zurückführbar"durch (B) $\rightarrow$ (A) aus, dann läßt sich das folgende Schema aufstellen: (LG) $\longleftarrow$ (U)$\longleftrightarrow$(LO) $\longleftrightarrow$ {Sp) $\longleftarrow$ (LC) [...]

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